駒の価値の研究シリーズの第３回目です。今回は「香」が主役です。数学的な手法を用いて香の価値を推定します。
駒の価値の研究シリーズ（No.３）
前回：将棋の駒の価値のスピード仮説と仮想駒「跳」
次回：香の価値の確率分布と香の格言
このページの目次
前回の「駒の価値のスピード仮説」とは？
前回の記事（将棋の駒の価値のスピード仮説と仮想駒「跳」）における仮説３は、「歩」、「桂」、「銀」、「金」の４種類の駒の価値を上手く説明することができました。仮説３は次のようなもので、「利きの数」と「スピード」から駒の価値を推定します。
仮説３：駒の価値は、（利きの数）×（スピード）である。
しかし、前回の議論では、飛び駒である「香」、「角」、「飛」を棚上げにしていました。どうして、飛び駒を棚上げにしていたかというと、その理由は単純で、仮説３では飛び駒の価値を上手く説明できないからです。
香の利きの数とスピードの問題点
最初に、飛び駒の中で、最もシンプルな駒である香について考えてみましょう。
香の利きの数は、１マスから８マスまでの８通りの場合があります。この時点で、仮説３における「利きの数」をどのように評価したらよいのか？という問題が発生します。前々回の記事（将棋の駒の価値の理論化：谷川理論からのスタート）では、仮説１を考えた時に、香の利きの数を大雑把な平均値として「4.5」と推定しました。結果として、香の価値が「4.5点」と過大評価されてしまいました。（ちなみに、谷川理論による香の価値は「３点」です。）
香のスピードについても、「１手で１マス」しか進めない場合から、「１手で８マス」も進める場合まであり、「１手で１マスから８マスまで」の８通りの場合があります。利きの数の平均値を推定する場合と同じように、香のスピードの平均値をどのように推定したら良いのか？という問題が発生しますが、ひとまずその問題を置いておくとしても、香のスピードの平均値が１より大きな値になるのは明らかです。すると、「利きの数」の時点で既に過大評価（4.5点）になっているのに、さらに「１より大きなスピードの値」を掛け算するということですから、「なおさら過大評価がひどくなる」という結論は目に見えています。
香の価値の過大評価の原因
香の価値の過大評価の原因として、次の２つの可能性が考えられます。（あるいは、両方とも原因である可能性もあります。）
（１）香の「利きの数」の平均値の推定が良くない。
香の利きの数の平均値の推定方法はかなり大雑把でした。他の駒の存在を全く考えていない方法といえます。実戦では、敵の駒と味方の駒を含めて盤上に多くの駒があり、香の利きを邪魔します。
（２）仮説３（および仮説２）における「駒の価値は駒のスピードに比例する」という仮定がそもそも間違い。
仮説１の「駒の価値（点数）は、利きの数と同じである」については、すべての駒の価値を大雑把につかむことに成功していました。（参考記事「将棋の駒の価値の理論化：谷川理論からのスタート」）
しかし、仮説３（および仮説２）の「駒の価値は、駒のスピードに比例する」は、桂の価値を説明するための仮説で、桂でしか成り立たない可能性も十分に考えられます。つまり、「桂でしか成立しない特殊な仮定を、すべての駒に一般的に当てはめようとしたのが間違い」である可能性です。
このような、２つのミスの可能性があるのですが、２つを一緒に考えると混乱するので、１つずつ検証したいと思います。そこで、過大評価の可能性が濃厚な「利きの数」の方を最初に見直します。
香の利きの数の平均値の見直し
上記の（１）の「香の利きの数の平均値」の算出について、もう少し細かく考えてみましょう。
香が盤面の何段目にあるか
まず考えるべきことは、香が盤面の何段目にあるか（または打たれるか）です。
香の利きは、二段目では１マス、三段目では２マス、四段目では３マス･･･と一段下がるにつれて１マスずつ増えていき、九段目では最大８マスの利きがあります。（一段目の香は行き場のない駒なのでルール上打てません。）
仮に、二段目～九段目までに香がある確率を、それぞれ８分の１で等確率と仮定します（数学の確率の問題では、しばしばこの「等確率」の仮定が用いられます）。すると、
香の利きが１マス（香の位置が二段目）である確率は８分の１
香の利きが２マス（香の位置が三段目）である確率は８分の１
香の利きが３マス（香の位置が四段目）である確率は８分の１
・・・（以下、同様で）・・・
香の利きが８マス（香の位置が九段目）である確率は８分の１
となるので、香の利きの数の期待値を数学的に求めると、
(1マス×1/8)＋(2マス×1/8)＋(3マス×1/8)＋・・・＋(8マス×1/8) ＝ 4.5マス
となります。ちなみに、「期待値」というのは上記のように計算した確率的な平均値のことです。この「4.5」という数字が、前々回の記事で求めた、香の利きの数の大雑把な平均値になります。
そして、このように求めた確率的な平均値（期待値）では、香の価値を過大評価してしまうということでした。
香の利きがどこでさえぎられるか
どうして、このような過大評価が起こってしまうのでしょうか？
現実の将棋の盤上では、香以外の多くの駒が存在しているので、香の利きがさえぎられることが多々あります。この効果を無視すると、香の利きの数の「期待値」を過大評価してしまいます。
二段目の香は利きがさえぎられることはありません。利きは必ず１マスです。
三段目の香は利きがさえぎられる場合があり、利きは１マスか２マスのどちらかです。
四段目の香も利きがさえぎられる場合があり、利きは１～３マスのいずれかです。
五段目の香も利きがさえぎられる場合があり、利きは１～４マスのいずれかです。
・・・（以下、同様で）・・・
九段目の香も利きがさえぎられる場合があり、利きは１～８マスのいずれかです。
（ただし、味方の駒にヒモをつけている場合も「利き」に含めています。）
例えば、三段目の香は、利きが１マスか２マスのどちらかですが、それぞれ２分の１の確率とします。すると、三段目の香の利き数の「期待値」は、次の式で計算されるように1.5マスとなります。
(1マス×1/2)＋(2マス×1/2) ＝ 1.5マス
同じように、
(1マス×1/3)＋(2マス×1/3)＋(3マス×1/3) ＝ 2マス（四段目の香について）
2.5マス（五段目の香について、同様の計算で）
3マス（六段目の香について、同様の計算で）
・・・
4.5マス（九段目の香について、同様の計算で）
となります。
この計算によって、「香がある特定の段目にある場合の、利きの数の期待値」が求められたわけです。
香の価値は2.75点？
再び、二段目～九段目までに香がある確率をそれぞれ８分の１の等確率とする仮定をすると、（香の利きがさえぎられる可能性も考慮した場合の）香の利きの数の期待値を求められます。
(1マス×1/8)＋(1.5マス×1/8)＋(2マス×1/8)＋・・・＋(4.5マス×1/8) ＝ 2.75マス
この2.75マス（2.75点）という値は、谷川理論（香３点）にかなり近い値となっています。
すなわち、
「香の利きをさえぎる駒を考慮に入れて、確率的な平均値（期待値）を求める」
という計算手法を用いると、仮説１でかなり良い値を得られるということです。
上記の計算結果を香に適用すると、仮説１による駒の価値は、
歩：１点（１マス）
香：2.75点（2.75マス）
桂：２点（２マス）
銀：５点（５マス）
金：６点（６マス）
さて、仮説１でそれなりに上手く説明できてしまうと、仮説３（および仮説２）における「駒のスピード」の概念はどこへ行ってしまうのでしょうか？
また、仮説１では相変わらず桂の価値を過小評価しています。
香の2.75点は本当に適切な値なのでしょうか？
飛車と角の価値はどうなるのでしょうか？
今回の成果の一つは、仮説１（および仮説３）による香の価値の見積もり精度が上がったことです。しかし、上記のように、まだまだ多くの課題が残っています。これらの課題については、次回以降のテーマにしたいと思います。